तर्कशास्त्राच्या बीजगणिताचे मूलभूत आणि कायदे

१९ व्या शतकाच्या मध्यातील आयरिश गणितज्ञ जॉर्ज बुल तर्कशास्त्राचे बीजगणित विकसित केले ("विचारांच्या नियमांचा अभ्यास"). म्हणून तर्कशास्त्राचे बीजगणित असेही म्हणतात बुलियन बीजगणित.

अक्षर पदनाम देऊन, कृती चिन्हांमध्ये तार्किक परिवर्तनाची क्रिया व्यक्त करून आणि या क्रियांसाठी स्थापित केलेले नियम आणि स्वयंसिद्ध वापरून, तर्कशास्त्राचे बीजगणित विधान तर्कशास्त्राच्या दृष्टीने दिलेल्या समस्येचे निराकरण करण्यासाठी तर्क प्रक्रियेला अल्गोरिदममध्ये पूर्णपणे वर्णन करण्यास अनुमती देते. , म्हणजे, या समस्येचे निराकरण करणारा गणितीय लिखित कार्यक्रम असणे.

विधानांचे सत्य किंवा असत्यता दर्शविण्यासाठी (म्हणजे विधानांचे मूल्यमापन करण्यासाठी मूल्ये सादर करण्यासाठी), तर्कशास्त्राचे बीजगणित बायनरी प्रणाली वापरते, या प्रकरणात सोयीस्कर आहे. विधान सत्य असल्यास, ते मूल्य 1 घेते, जर ते असत्य असेल, तर ते मूल्य 0 घेते. बायनरी संख्यांच्या विपरीत, तार्किक 1s आणि 0s एक परिमाण व्यक्त करत नाहीत, परंतु एक स्थिती दर्शवितात.

तर, बुलियन बीजगणित वापरून वर्णन केलेल्या इलेक्ट्रिकल सर्किट्समध्ये, जेथे 1 ही व्होल्टेजची उपस्थिती आहे आणि 0 ही त्याची अनुपस्थिती आहे, सर्किटच्या एका नोडला अनेक स्त्रोतांकडून व्होल्टेजचा पुरवठा (म्हणजे, त्यातील अनेक तार्किक युनिट्सचे आगमन) आहे. तार्किक एकक म्हणून देखील दर्शविते जे नोडवरील एकूण व्होल्टेज दर्शवत नाही तर केवळ त्याची उपस्थिती दर्शवते.

लॉजिक सर्किट्सच्या इनपुट आणि आउटपुट सिग्नलचे वर्णन करताना, व्हेरिएबल्सचा वापर केला जातो जे फक्त लॉजिकल 0 किंवा 1 ची मूल्ये घेतात. इनपुटवरील आउटपुट सिग्नलची अवलंबित्व निर्धारित केली जाते. तार्किक ऑपरेशन (कार्य)… X1 आणि X2 द्वारे इनपुट व्हेरिएबल्स आणि y द्वारे त्यांच्यावरील लॉजिकल ऑपरेशनद्वारे प्राप्त झालेले आउटपुट दर्शवू.

यावर विचार करा तीन मूलभूत प्राथमिक तार्किक ऑपरेशन्स, ज्याच्या मदतीने वाढत्या गुंतागुंतीचे वर्णन केले जाऊ शकते.

1. किंवा ऑपरेशन — तार्किक जोड:

व्हेरिएबल्सची सर्व संभाव्य मूल्ये दिल्यास, आउटपुटमध्ये एक तयार करण्यासाठी इनपुटमध्ये कमीतकमी एका युनिटची पुरेशीता म्हणून OR ऑपरेशनची व्याख्या करता येते. ऑपरेशनचे नाव युनियन किंवा या वाक्यांशातील अर्थपूर्ण अर्थाने स्पष्ट केले आहे: "जर OR एक इनपुट असेल किंवा दुसरा एक असेल तर आउटपुट एक असेल."

2. ऑपरेशन आणि — तार्किक गुणाकार:

व्हेरिएबल्सच्या संपूर्ण मूल्यांचा विचार करण्यापासून, AND ऑपरेशन आउटपुटवर एक मिळविण्यासाठी इनपुटवरील सर्व मूल्यांशी जुळण्याची आवश्यकता म्हणून परिभाषित केले आहे: “जर AND एक इनपुट असेल आणि दुसरा असेल तर आउटपुट एक आहे. "

3. ऑपरेशन नाही — तार्किक नकार किंवा उलट. हे व्हेरिएबलच्या वर असलेल्या बारद्वारे सूचित केले जाते.

उलट केल्यावर, व्हेरिएबलचे मूल्य उलट होते.

तार्किक बीजगणिताचे मूलभूत नियम:

1. शून्य संचाचा नियम: इतर व्हेरिएबल्सच्या मूल्यांकडे दुर्लक्ष करून, कोणतेही व्हेरिएबल्स शून्य असल्यास कितीही व्हेरिएबल्सचे उत्पादन नाहीसे होते:

2. सार्वत्रिक संचाचा कायदा — इतर व्हेरिएबल्सची पर्वा न करता, कमीत कमी एका व्हेरिएबल्सचे मूल्य एक असल्यास कितीही व्हेरिएबल्सची बेरीज एक होईल:

3. पुनरावृत्तीचा नियम — अभिव्यक्तीमधील पुनरावृत्ती व्हेरिएबल्स वगळले जाऊ शकतात (दुसर्‍या शब्दात, बुलियन बीजगणितातील संख्यात्मक गुणांकाने कोणतेही घातांक आणि गुणाकार नाही):

4. दुहेरी उलट्याचा नियम — दोनदा केलेले उलथापालथ हे रिक्त ऑपरेशन आहे:

5. पूरकतेचा कायदा — प्रत्येक चलचे गुणाकार आणि त्याचा व्यस्त शून्य आहे:

6. प्रत्येक व्हेरिएबलची बेरीज आणि त्याचे परस्परसंबंध एक आहे:

7. संरक्षणात्मक कायदे - गुणाकार आणि बेरीज ऑपरेशन्सचा परिणाम व्हेरिएबल्सचे अनुसरण करत असलेल्या क्रमावर अवलंबून नाही:

8. एकत्रित कायदे — गुणाकार आणि बेरीज ऑपरेशन्स दरम्यान, व्हेरिएबल्स कोणत्याही क्रमाने गटबद्ध केले जाऊ शकतात:

9. वितरण कायदे - कंसाच्या बाहेर एकूण गुणांक ठेवण्याची परवानगी आहे:

10. शोषणाचे नियम — सर्व घटक आणि संज्ञांमध्ये व्हेरिएबलचा समावेश असलेले अभिव्यक्ती सुलभ करण्याचे मार्ग सूचित करा:

11. डी मॉर्गनचे कायदे - उत्पादनाचे व्युत्क्रम ही चलांच्या व्युत्क्रमांची बेरीज आहे:

बेरीजचे व्युत्क्रम हे चलांच्या व्युत्क्रमांचे उत्पादन आहे: