एसी सर्किट्सची गणना करण्यासाठी प्रतीकात्मक पद्धत

वेक्टर परिमाणांसह ऑपरेशन्सची प्रतीकात्मक पद्धत अगदी सोप्या कल्पनेवर आधारित आहे: प्रत्येक वेक्टर दोन घटकांमध्ये विघटित केला जातो: एक क्षैतिज, अॅब्सिसाच्या बाजूने जाणारा आणि दुसरा, अनुलंब, ऑर्डिनेटच्या बाजूने जातो. या प्रकरणात, सर्व क्षैतिज घटक एका सरळ रेषेचे अनुसरण करतात आणि साध्या बीजगणितीय जोडणीद्वारे जोडले जाऊ शकतात आणि अनुलंब घटक त्याच प्रकारे जोडले जातात.

या दृष्टिकोनाचा परिणाम साधारणपणे दोन परिणामी घटकांमध्ये होतो, एक क्षैतिज आणि अनुलंब, जे नेहमी समान 90° कोनात एकमेकांना लागून असतात.

हे घटक परिणाम शोधण्यासाठी, म्हणजे भौमितिक जोडणीसाठी वापरले जाऊ शकतात. काटकोन असलेले घटक काटकोन त्रिकोणाचे पाय दर्शवतात आणि त्यांची भौमितिक बेरीज कर्ण दर्शवते.

तुम्ही असेही म्हणू शकता की भौमितिक बेरीज ही घटकांवर तसेच त्याच्या बाजूंवर बांधलेल्या समांतरभुज चौकोनाच्या कर्णाच्या बरोबर असते... जर क्षैतिज घटक AG द्वारे आणि अनुलंब घटक AB ने दर्शविला असेल, तर भौमितिक बेरीज ( १)

काटकोन त्रिकोणांची भौमितीय बेरीज शोधणे तिरकस त्रिकोणापेक्षा खूप सोपे आहे. हे पाहणे सोपे आहे (2)

घटकांमधील कोन 90° असल्यास (1) होतो. cos 90 = 0 असल्याने, मूलगामी अभिव्यक्ती (2) मधील शेवटची संज्ञा नाहीशी होते, परिणामी अभिव्यक्ती मोठ्या प्रमाणात सरलीकृत केली जाते. लक्षात घ्या की "बेरीज" या शब्दापूर्वी तीनपैकी एक शब्द जोडला जाणे आवश्यक आहे: "अंकगणित", "बीजगणित", "भौमितिक".

अंजीर. १.

"रक्कम" हा शब्द निर्दिष्ट न करता, ज्यामुळे अनिश्चितता येते आणि काही प्रकरणांमध्ये घोर चुका होतात.

सर्व सदिश एकाच दिशेने सरळ रेषेने (किंवा एकमेकांना समांतर) जात असताना परिणामी व्हेक्टर व्हेक्टरच्या अंकगणितीय बेरजेइतके असते हे लक्षात ठेवा. याव्यतिरिक्त, सर्व वेक्टर्समध्ये अधिक चिन्ह आहे (चित्र 1, अ).

जर सदिश एका सरळ रेषेने जातात परंतु विरुद्ध दिशेने निर्देशित करतात, तर त्यांचा परिणाम सदिशांच्या बीजगणितीय बेरजेइतका असतो, अशा परिस्थितीत काही पदांना अधिक चिन्ह असते आणि इतरांना वजा चिन्ह असते.

उदाहरणार्थ, अंजीरच्या चित्रात. 1, b U6 = U4 — U5. आम्ही असेही म्हणू शकतो की अंकगणित बेरीज अशा प्रकरणांमध्ये वापरली जाते जेथे सदिशांमधील कोन शून्य आहे, बीजगणितीय जेव्हा कोन 0 आणि 180 ° असतात. इतर सर्व प्रकरणांमध्ये, जोडणी व्हेक्टोरियलली केली जाते, म्हणजे, भौमितिक बेरीज निर्धारित केली जाते (चित्र 1, c).

उदाहरण... सर्किट अंजीरसाठी समतुल्य साइन वेव्हचे पॅरामीटर्स निश्चित करा. 2, पण प्रतीकात्मक.

उत्तर द्या. Um1 Um2 वेक्टर काढू आणि त्यांचे घटकांमध्ये विघटन करू. रेखांकनावरून असे दिसून येते की प्रत्येक क्षैतिज घटक हे फेज कोनाच्या कोसाइनने गुणाकार केलेले सदिश मूल्य आहे आणि अनुलंब हे फेज कोनाच्या साइनने गुणाकार केलेले वेक्टर मूल्य आहे. मग

अंजीर. 2.

अर्थात, एकूण क्षैतिज आणि अनुलंब घटक संबंधित घटकांच्या बीजगणितीय बेरजेइतके असतात. मग

परिणामी घटक अंजीर मध्ये दर्शविले आहेत. 2, बी. यासाठी Um चे मूल्य ठरवा, दोन घटकांची भौमितिक बेरीज काढा:

समतुल्य फेज कोन ψeq निश्चित करा. अंजीर. 2, b, हे पाहिले जाऊ शकते की उभ्या आणि क्षैतिज घटकाचे गुणोत्तर हे समतुल्य फेज कोनची स्पर्शिका आहे.

कुठे

अशा प्रकारे प्राप्त झालेल्या सायनसॉइडमध्ये 22.4 V चे मोठेपणा आहे, घटकांच्या समान कालावधीसह 33.5 ° चा प्रारंभिक टप्पा आहे. लक्षात घ्या की एकाच फ्रिक्वेन्सीच्या फक्त साइन लहरी जोडल्या जाऊ शकतात, कारण वेगवेगळ्या फ्रिक्वेन्सीचे साइन वक्र जोडताना परिणामी वक्र साइन होणे बंद होते आणि या प्रकरणात केवळ हार्मोनिक सिग्नलला लागू असलेल्या सर्व संकल्पना अवैध ठरतात.

विविध आकडेमोड करत असताना हार्मोनिक वेव्हफॉर्म्सच्या गणितीय वर्णनांसह केलेल्या परिवर्तनांची संपूर्ण साखळी आपण पुन्हा एकदा पाहू या.

प्रथम, टेम्पोरल फंक्शन्स वेक्टर प्रतिमांनी बदलले जातात, नंतर प्रत्येक वेक्टर दोन परस्पर लंब घटकांमध्ये विघटित केला जातो, नंतर क्षैतिज आणि उभ्या घटकांची स्वतंत्रपणे गणना केली जाते आणि शेवटी परिणामी वेक्टरची मूल्ये आणि त्याचा प्रारंभिक टप्पा निर्धारित केला जातो.

गणनाची ही पद्धत ग्राफिकरित्या जोडण्याची (आणि काही प्रकरणांमध्ये अधिक जटिल ऑपरेशन्स, उदाहरणार्थ, गुणाकार, भागाकार, मुळे काढणे इ.) साइनसॉइडल वक्र आणि तिरकस त्रिकोणांची सूत्रे वापरून गणना करण्याची आवश्यकता दूर करते.

तथापि, ऑपरेशनच्या क्षैतिज आणि अनुलंब घटकांची स्वतंत्रपणे गणना करणे अवघड आहे.अशा गणनेमध्ये, असे गणितीय उपकरण असणे खूप सोयीचे आहे ज्याद्वारे आपण एकाच वेळी दोन्ही घटकांची गणना करू शकता.

आधीच गेल्या शतकाच्या शेवटी, एक पद्धत विकसित केली गेली होती जी परस्पर लंब अक्षांवर प्लॉट केलेल्या संख्यांची एकाचवेळी गणना करण्यास अनुमती देते. क्षैतिज अक्षावरील संख्यांना वास्तविक म्हटले गेले आणि उभ्या अक्षावरील संख्यांना काल्पनिक म्हटले गेले. या संख्यांची गणना करताना, वास्तविक संख्यांमध्ये ± 1 चा घटक जोडला जातो आणि काल्पनिक संख्यांमध्ये ± j जोडला जातो (वाचा "xi"). वास्तविक आणि काल्पनिक भाग असलेल्या संख्यांना म्हणतात जटिल, आणि त्यांच्या मदतीने केलेल्या गणनेची पद्धत प्रतीकात्मक आहे.

आपण "प्रतिकात्मक" या शब्दाचे स्पष्टीकरण देऊ. गणना केली जाणारी फंक्शन्स (या प्रकरणात हार्मोनिक्स) मूळ आहेत आणि मूळची जागा घेणारी अभिव्यक्ती प्रतिमा किंवा चिन्हे आहेत.

प्रतिकात्मक पद्धत वापरताना, सर्व गणना स्वतः मूळ नसून त्यांच्या चिन्हांवर (प्रतिमा) केल्या जातात, जे आमच्या बाबतीत संबंधित जटिल संख्यांचे प्रतिनिधित्व करतात, कारण मूळपेक्षा प्रतिमांवर ऑपरेशन करणे खूप सोपे आहे.

सर्व प्रतिमा ऑपरेशन्स पूर्ण झाल्यानंतर, परिणामी प्रतिमेशी संबंधित मूळ परिणामी प्रतिमेवर रेकॉर्ड केले जाते. इलेक्ट्रिकल सर्किट्समधील बहुतेक गणना प्रतीकात्मक पद्धतीने केली जातात.