वेक्टर फील्डचा प्रवाह आणि अभिसरण

रिचर्ड फेनमन यांच्या व्याख्यानाच्या साहित्यावर आधारित

वेक्टर फील्डच्या संदर्भात विजेच्या नियमांचे वर्णन करताना, आम्हाला वेक्टर फील्डच्या दोन गणितीयदृष्ट्या महत्त्वपूर्ण वैशिष्ट्यांचा सामना करावा लागतो: प्रवाह आणि परिसंचरण. या गणिती संकल्पना काय आहेत आणि त्यांचा व्यावहारिक अर्थ काय आहे हे समजून घेणे चांगले होईल.

प्रश्नाचा दुसरा भाग लगेच उत्तर देणे सोपे आहे कारण प्रवाह आणि अभिसरण या संकल्पना केंद्रस्थानी आहेत मॅक्सवेलची समीकरणे, ज्यावर सर्व आधुनिक इलेक्ट्रोडायनामिक्स खरोखर अवलंबून असतात.

म्हणून, उदाहरणार्थ, इलेक्ट्रोमॅग्नेटिक इंडक्शनचा नियम खालीलप्रमाणे तयार केला जाऊ शकतो: बंद लूप C च्या बाजूने विद्युत क्षेत्र E चे परिसंचरण हे याने बांधलेल्या S पृष्ठभागाद्वारे चुंबकीय क्षेत्र B च्या फ्लक्सच्या बदलाच्या दराएवढे आहे. लूप बी.

पुढील गोष्टींमध्ये, आम्ही स्पष्ट द्रव उदाहरणे वापरून अगदी सोप्या भाषेत वर्णन करू, फील्ड वैशिष्ट्ये गणितीयदृष्ट्या कशी निर्धारित केली जातात, ज्यामधून ही फील्ड वैशिष्ट्ये घेतली जातात आणि मिळवली जातात.

वेक्टर फील्ड फ्लक्स

सुरुवातीला, आपण अभ्यासाखालील क्षेत्राभोवती पूर्णपणे अनियंत्रित आकाराचा एक विशिष्ट बंद पृष्ठभाग काढू या. या पृष्ठभागाचे चित्रण केल्यानंतर, आपण विचारतो की अभ्यासाची वस्तू, ज्याला आपण फील्ड म्हणतो, या बंद पृष्ठभागावरून वाहते का? हे सर्व काय आहे हे समजून घेण्यासाठी, एक साधे द्रव उदाहरण विचारात घ्या.

समजा आम्ही एका विशिष्ट द्रव्याच्या वेग क्षेत्राची तपासणी करत आहोत. अशा उदाहरणासाठी, हे विचारण्यात अर्थ आहे: प्रति युनिट वेळेत या पृष्ठभागावर बद्ध असलेल्या व्हॉल्यूममध्ये प्रवाहापेक्षा जास्त द्रवपदार्थ या पृष्ठभागावरून जातो का? दुसऱ्या शब्दांत, बहिर्वाह दर नेहमी मुख्यतः आतून बाहेरून निर्देशित केला जातो का?

"वेक्टर फील्ड फ्लक्स" या अभिव्यक्तीद्वारे (आणि आमच्या उदाहरणासाठी "द्रव वेग प्रवाह" ही अभिव्यक्ती अधिक अचूक असेल), आम्ही दिलेल्या अ. बंद पृष्ठभाग (द्रव प्रवाह दरासाठी, प्रति युनिट वेळेनुसार किती द्रवपदार्थ फॉलो होतो).

परिणामी, पृष्ठभागाच्या घटकामधून प्रवाह वेगाच्या लंब घटकाद्वारे पृष्ठभागाच्या घटकाच्या क्षेत्रफळाच्या गुणाकाराच्या समान असेल. मग संपूर्ण पृष्ठभागावरील एकूण (एकूण) प्रवाह वेगाच्या सरासरी सामान्य घटकाच्या गुणाकाराच्या समान असेल, जे आपण एकूण पृष्ठभागाच्या क्षेत्रफळानुसार आतून बाहेरून मोजू.

आता विद्युत क्षेत्राकडे परत या. विद्युत क्षेत्र अर्थातच, काही द्रवाच्या प्रवाहाचा वेग मानला जाऊ शकत नाही, परंतु आम्हाला प्रवाहाची गणितीय संकल्पना सादर करण्याचा अधिकार आहे, जसे की आम्ही वर वर्णन केलेल्या द्रवाच्या वेगाचा प्रवाह आहे.

केवळ विद्युत क्षेत्राच्या बाबतीत, त्याचा प्रवाह विद्युत क्षेत्राच्या सामर्थ्य E च्या सरासरी सामान्य घटकाद्वारे निर्धारित केला जाऊ शकतो. याव्यतिरिक्त, विद्युत क्षेत्राचा प्रवाह बंद पृष्ठभागाद्वारे नाही तर कोणत्याही बद्ध पृष्ठभागाद्वारे निर्धारित केला जाऊ शकतो. शून्य क्षेत्राचे एस.

वेक्टर फील्डचे अभिसरण

प्रत्येकाला हे माहित आहे की, अधिक स्पष्टतेसाठी, फील्ड तथाकथित शक्तीच्या रेषांच्या स्वरूपात चित्रित केले जाऊ शकतात, ज्याच्या प्रत्येक बिंदूवर स्पर्शिकेची दिशा फील्ड ताकदीच्या दिशेशी जुळते.

चला द्रव सादृश्याकडे परत जाऊ आणि द्रवाच्या वेग क्षेत्राची कल्पना करूया. चला स्वतःला एक प्रश्न विचारू: द्रव फिरत आहे का? म्हणजेच, ते प्रामुख्याने काही काल्पनिक बंद लूपच्या दिशेने फिरते का?

अधिक स्पष्टतेसाठी, कल्पना करा की एका मोठ्या कंटेनरमधील द्रव कसा तरी हलत आहे (चित्र अ) आणि आम्ही अचानक त्याचे जवळजवळ सर्व खंड गोठवले, परंतु एकसमान बंद नळीच्या रूपात खंड गोठवलेला ठेवण्यास व्यवस्थापित केले ज्यामध्ये कोणतेही नाही. भिंतीवरील द्रवाचे घर्षण (अंजीर ब).

या नळीच्या बाहेर, द्रव बर्फाकडे वळला आहे आणि म्हणून तो यापुढे हलवू शकत नाही, परंतु ट्यूबच्या आत द्रव त्याची हालचाल चालू ठेवण्यास सक्षम आहे, जर एक प्रचलित गती असेल जी त्याला चालवते, उदाहरणार्थ, घड्याळाच्या दिशेने (चित्र. ° से). नंतर ट्यूबमधील द्रव गती आणि नळीच्या लांबीच्या गुणाकारांना द्रवपदार्थाचा वेग अभिसरण असे म्हटले जाईल.

त्याचप्रमाणे, आपण वेक्टर फील्डसाठी परिसंचरण परिभाषित करू शकतो, जरी फील्डला कोणत्याही गोष्टीचा वेग म्हटले जाऊ शकत नाही, तरीही आपण समोच्च बाजूने "अभिसरण" चे गणितीय वैशिष्ट्य परिभाषित करू शकतो.

तर, काल्पनिक बंद लूपच्या बाजूने वेक्टर फील्डचे अभिसरण हे लूपच्या पॅसेजच्या दिशेने - लूपच्या लांबीनुसार वेक्टरच्या सरासरी स्पर्शिक घटकाचे उत्पादन म्हणून परिभाषित केले जाऊ शकते.