संपर्क सर्किट बीजगणिताचे नियम, बुलियन बीजगणित

रिले सर्किट्सच्या संरचनेचे आणि ऑपरेटिंग परिस्थितीचे विश्लेषणात्मक रेकॉर्ड सर्किट्सचे विश्लेषणात्मक समतुल्य परिवर्तन करणे शक्य करते, म्हणजे, स्ट्रक्चरल सूत्रांचे रूपांतर करून, त्यांच्या ऑपरेशनमध्ये समान योजना शोधणे. कॉन्टॅक्ट सर्किट्स व्यक्त करणार्‍या स्ट्रक्चरल सूत्रांसाठी रूपांतरण पद्धती विशेषतः पूर्णपणे विकसित केल्या आहेत.

कॉन्टॅक्ट सर्किट्ससाठी, तर्कशास्त्राच्या बीजगणिताचे गणितीय उपकरण वापरले जाते, अधिक अचूकपणे, त्याच्या सर्वात सोप्या प्रकारांपैकी एक, ज्याला प्रपोझिशन कॅल्क्युलस किंवा बूलियन बीजगणित म्हणतात (गेल्या शतकातील गणितज्ञ जे. बूले नंतर).

प्रपोझिशनल कॅल्क्युलस मूलतः अवलंबित्वाचा अभ्यास करण्यासाठी विकसित केले गेले होते (सत्य किंवा असत्यतेवरील जटिल निर्णयांचे सत्य किंवा असत्यता जे त्यांना तयार करतात. थोडक्यात, प्रपोझिशनल कॅल्क्युलस हे दोन संख्यांचे बीजगणित आहे, म्हणजे बीजगणित जे प्रत्येक स्वतंत्र युक्तिवाद आणि प्रत्येक फंक्शनमध्ये दोनपैकी एक मूल्य असू शकते.

हे संपर्क सर्किट्सचे रूपांतर करण्यासाठी बुलियन बीजगणित वापरण्याची शक्यता निर्धारित करते, कारण संरचनात्मक सूत्रामध्ये समाविष्ट असलेल्या प्रत्येक युक्तिवाद (संपर्क) फक्त दोन मूल्ये घेऊ शकतात, म्हणजेच ते बंद किंवा खुले असू शकतात आणि संपूर्ण कार्य स्ट्रक्चरल द्वारे प्रस्तुत केले जाते. सूत्र एकतर बंद किंवा ओपन लूप व्यक्त करू शकतो.

बुलियन बीजगणित परिचय:

1) सामान्य बीजगणिताप्रमाणे ज्या वस्तूंची नावे आहेत: स्वतंत्र चल आणि कार्ये — तथापि, सामान्य बीजगणिताच्या विपरीत, बुलियन बीजगणितामध्ये दोन्ही फक्त दोन मूल्ये घेऊ शकतात: 0 आणि 1;

२) बेसिक लॉजिक ऑपरेशन्स:

• तार्किक जोड (किंवा वियोग, तार्किक OR, चिन्हाद्वारे दर्शविलेले?), जे खालीलप्रमाणे परिभाषित केले आहे: ऑपरेशनचा परिणाम 0 असेल आणि फक्त जर ऑपरेशनचे सर्व वितर्क 0 च्या समान असतील तर, अन्यथा परिणाम 1 असेल;

• तार्किक गुणाकार (किंवा संकलित, तार्किक AND, द्वारे दर्शविलेले?, किंवा अजिबात निर्दिष्ट केलेले नाही) जे खालीलप्रमाणे परिभाषित केले आहे: ऑपरेशनचा परिणाम 1 असेल आणि फक्त जर ऑपरेशनचे सर्व वितर्क 1 च्या समान असतील, अन्यथा परिणाम 0 आहे;

• नकार (किंवा त्याउलट, तार्किक नाही, युक्तिवादाच्या वरच्या पट्टीद्वारे दर्शविलेले), जे खालीलप्रमाणे परिभाषित केले आहे: ऑपरेशनच्या परिणामामध्ये युक्तिवादाच्या विरुद्ध मूल्य आहे;

3) स्वयंसिद्ध (बूलियन बीजगणिताचे नियम), जे तार्किक अभिव्यक्ती बदलण्याचे नियम परिभाषित करतात.

लक्षात घ्या की प्रत्येक लॉजिकल ऑपरेशन व्हेरिएबल्सवर आणि फंक्शन्सवर दोन्ही केले जाऊ शकते, ज्याला खाली बुलियन फंक्शन्स म्हटले जाईल... लक्षात ठेवा की, सामान्य बीजगणिताशी साधर्म्य करून, बुलियन बीजगणितमध्ये, तार्किक गुणाकाराच्या ऑपरेशनला लॉजिकलपेक्षा प्राधान्य असते. अतिरिक्त ऑपरेशन.

बूलियन अभिव्यक्ती अनेक ऑब्जेक्ट्सवरील लॉजिकल ऑपरेशन्स (व्हेरिएबल्स किंवा फंक्शन्स) एकत्र करून तयार केल्या जातात, ज्याला ऑपरेशनचे वितर्क म्हणतात.

बुलियन बीजगणिताच्या नियमांचा वापर करून तार्किक अभिव्यक्तींचे परिवर्तन सहसा कमी करण्याच्या उद्देशाने केले जाते, कारण अभिव्यक्ती जितकी सोपी असेल तितकी लॉजिकल साखळीची जटिलता कमी असेल, जी तार्किक अभिव्यक्तीची तांत्रिक अंमलबजावणी आहे.

बुलियन बीजगणिताचे नियम स्वयंसिद्ध आणि परिणामांचा संच म्हणून सादर केले जातात. व्हेरिएबल्सची भिन्न मूल्ये बदलून हे अगदी सहजपणे तपासले जाऊ शकते.

बुलियन फंक्शनसाठी कोणत्याही लॉजिकल एक्सप्रेशनचे तांत्रिक अॅनालॉग हे लॉजिक डायग्राम असते... या प्रकरणात, बुलियन फंक्शन ज्या व्हेरिएबल्सवर अवलंबून असते ते या सर्किटच्या बाह्य इनपुटशी जोडलेले असतात, बुलियन फंक्शनचे मूल्य येथे तयार होते. सर्किटचे बाह्य आउटपुट आणि प्रत्येक तार्किक ऑपरेशन तार्किक अभिव्यक्तीमध्ये तार्किक घटकाद्वारे लागू केले जाते.

अशा प्रकारे, लॉजिक सर्किटच्या आउटपुटवर इनपुट सिग्नलच्या प्रत्येक सेटसाठी, एक सिग्नल तयार केला जातो जो या व्हेरिएबल्सच्या सेटच्या बुलियन फंक्शनच्या मूल्याशी संबंधित असतो (पुढे, आम्ही खालील नियम वापरू: 0 — कमी सिग्नल पातळी , 1 — सिग्नलची उच्च पातळी).

लॉजिक सर्किट्स बनवताना, आम्ही असे गृहीत धरू की व्हेरिएबल्स पॅराफेस कोडमध्ये इनपुटवर दिले जातात (म्हणजे व्हेरिएबल्सची थेट आणि व्यस्त दोन्ही मूल्ये उपलब्ध आहेत).

सारणी 1 GOST 2.743-91 नुसार काही तर्क घटकांचे पारंपारिक ग्राफिक पदनाम दर्शविते, तसेच त्यांचे परदेशी समकक्ष.

टॅबमध्ये बुलियन बीजगणित (AND, OR, NOT) च्या तीन ऑपरेशन्स करणाऱ्या घटकांव्यतिरिक्त. 1 मुख्य पासून व्युत्पन्न ऑपरेशन्स करणारे घटक दर्शविते:

— आणि -नाही — तार्किक गुणाकाराचे नकार, याला स्केफर मूव्ह देखील म्हणतात (| द्वारे दर्शविले जाते)

— किंवा -नाही — तार्किक पूरकतेचे नकार, ज्याला पियर्सचा बाण देखील म्हणतात (याद्वारे सूचित केले जाते?)

लॉजिक गेट्सला अनुक्रमे जोडून, ​​तुम्ही कोणतेही बुलियन फंक्शन लागू करू शकता.

सामान्यत: रिले सर्किट्स व्यक्त करणारे स्ट्रक्चरल फॉर्म्युले, म्हणजे, प्रतिक्रिया देणार्‍या गरुडांची चिन्हे असलेली, केवळ बंद किंवा ओपन सर्किट व्यक्त करणार्‍या दोन मूल्यांची कार्ये मानली जाऊ शकत नाहीत. म्हणून, अशा फंक्शन्ससह कार्य करताना, अनेक नवीन अवलंबित्व उद्भवतात जे बुलियन बीजगणिताच्या मर्यादेच्या पलीकडे जातात.

बुलियन बीजगणितामध्ये, मूलभूत नियमांच्या चार जोड्या आहेत: दोन विस्थापन, दोन संयोगात्मक, दोन वितरणात्मक आणि दोन कायदेशीर उलटे. हे कायदे भिन्न अभिव्यक्तींची समानता स्थापित करतात, म्हणजेच ते सामान्य बीजगणितातील ओळखींच्या प्रतिस्थापनाप्रमाणे एकमेकांसाठी बदलल्या जाऊ शकतात अशा अभिव्यक्तींचा विचार करतात. समतुल्य चिन्ह म्हणून आपण चिन्ह घेतो जे सामान्य बीजगणित (=) मधील समानता चिन्हासारखे आहे.

कॉन्टॅक्ट सर्किट्ससाठी बूलियन बीजगणिताच्या नियमांची वैधता समतुल्य अभिव्यक्तीच्या डाव्या आणि उजव्या बाजूंच्या सर्किट्सचा विचार करून स्थापित केली जाईल.

प्रवास कायदे

जोडण्यासाठी: x + y = y + x

या अभिव्यक्तीशी संबंधित योजना अंजीर मध्ये दर्शविल्या आहेत. 1, अ.

डावे आणि उजवे सर्किट हे सामान्यतः खुले सर्किट असतात, त्यातील प्रत्येक घटक (X किंवा Y) ट्रिगर झाल्यावर बंद होतो, म्हणजेच ही सर्किट्स समतुल्य असतात. गुणाकारासाठी: x ·y = y ·NS.

या अभिव्यक्तीशी संबंधित योजना अंजीर मध्ये दर्शविल्या आहेत. 1b, त्यांची समतुल्यता देखील स्पष्ट आहे.

तांदूळ. १

संयोजनाचे कायदे

जोडण्यासाठी: (x + y) + z = x + (y + z)

गुणाकारासाठी: (x ·y) ·z = x · (y ·z)

या अभिव्यक्तीशी संबंधित समतुल्य सर्किट्सच्या जोड्या अंजीर मध्ये दर्शविल्या आहेत. 2, a, b

तांदूळ. 2

वितरण कायदे

गुणाकार विरुद्ध बेरीज: (x + y) +z = x + (y + z)

बेरीज वि गुणाकार. x ·y + z = (x + z) · (y + z)

या अभिव्यक्तीशी संबंधित योजना अंजीर मध्ये दर्शविल्या आहेत. 3, a, b.

तांदूळ. 3.

या योजनांची समतुल्यता संपर्क क्रियांच्या विविध संयोजनांचा विचार करून सहजपणे सत्यापित केली जाऊ शकते.

उलथापालथाचे नियम

याव्यतिरिक्त: NS + c = NS·c

अभिव्यक्तीच्या डाव्या बाजूला वरील पट्टी एक नकार किंवा उलट चिन्ह आहे. हे चिन्ह सूचित करते की नकारात्मक चिन्हाच्या खाली असलेल्या अभिव्यक्तीच्या संदर्भात संपूर्ण कार्याचा उलट अर्थ आहे. संपूर्ण व्यस्त कार्याशी संबंधित आकृती काढणे शक्य नाही. परंतु नकारात्मक चिन्हाखाली अभिव्यक्तीशी संबंधित आकृती काढता येते. अशा प्रकारे, सूत्र अंजीर मध्ये दर्शविलेल्या आकृत्यांसह स्पष्ट केले जाऊ शकते. 4, अ.

तांदूळ. 4.

डावा आकृती x + y या अभिव्यक्तीशी आणि उजवा NS ·c शी संबंधित आहे

हे दोन सर्किट ऑपरेशनमध्ये एकमेकांच्या विरुद्ध आहेत, म्हणजे: जर एक्स, वाई घटकांसह डावे सर्किट हे ओपन सर्किट असेल तर उजवे सर्किट बंद आहे. जर डाव्या सर्किटमध्ये, जेव्हा घटकांपैकी एक ट्रिगर केला जातो, तेव्हा सर्किट बंद होते आणि उजव्या सर्किटमध्ये, त्याउलट, ते उघडते.

ऋण चिन्हाच्या व्याख्येनुसार, फंक्शन x + y हे x + y फंक्शनचे व्युत्क्रम आहे, तर हे स्पष्ट आहे की x + y = NS·in.

गुणाकार बद्दल: NS · c = NS + c

संबंधित योजना अंजीर मध्ये दर्शविल्या आहेत. 4, बी.

ट्रान्सलोकेटिव्ह आणि कॉम्बिनेशनल आणि कायदे आणि बेरीजच्या संदर्भात गुणाकाराचे वितरणात्मक नियम (सामान्य बीजगणिताच्या समान कायद्यांशी संबंधित).म्हणून, अटींच्या बेरीज आणि गुणाकाराच्या क्रमाने संरचनात्मक सूत्रांचे रूपांतर, कंसाच्या बाहेर अटींचे स्थान आणि कंसाच्या विस्ताराच्या बाबतीत, आपण सामान्य बीजगणितीय अभिव्यक्तींसह कार्य करण्यासाठी स्थापित नियमांचे पालन करू शकता. गुणाकाराच्या संदर्भात बेरीजचे वितरणात्मक नियम आणि उलथापालथाचे नियम हे बुलियन बीजगणितासाठी विशिष्ट आहेत.