बायोट-सावर्ट कायदा आणि चुंबकीय प्रेरण वेक्टरच्या अभिसरणाचे प्रमेय

1820 मध्ये, फ्रेंच शास्त्रज्ञ जीन-बॅप्टिस्ट बायोट आणि फेलिक्स सावर्ड यांनी, प्रत्यक्ष प्रवाहांच्या चुंबकीय क्षेत्रांचा अभ्यास करण्यासाठी संयुक्त प्रयोगांदरम्यान, निर्विवादपणे स्थापित केले की कंडक्टरमधून वाहणार्या थेट प्रवाहाचे चुंबकीय प्रेरण हे त्याचे परिणाम मानले जाऊ शकते. विद्युत् प्रवाहासह या वायरच्या सर्व विभागांची सामान्य क्रिया. याचा अर्थ चुंबकीय क्षेत्र सुपरपोझिशनच्या तत्त्वाचे पालन करते (फील्डच्या सुपरपोझिशनचे तत्त्व).

DC तारांच्या समूहाने तयार केलेल्या चुंबकीय क्षेत्रामध्ये खालील गोष्टी आहेत चुंबकीय प्रेरणकी त्याचे मूल्य प्रत्येक कंडक्टरने स्वतंत्रपणे तयार केलेल्या चुंबकीय प्रेरणांची वेक्टर बेरीज म्हणून परिभाषित केले आहे. म्हणजेच, डायरेक्ट करंट कंडक्टरचे इंडक्शन B हे मानल्या जाणार्‍या डायरेक्ट करंट कंडक्टर I च्या एलिमेंटरी सेक्शन dl मधील एलिमेंटरी इंडक्शन dB च्या वेक्टर बेरीजद्वारे योग्यरित्या प्रस्तुत केले जाऊ शकते.

डायरेक्ट करंट कंडक्टरच्या प्राथमिक विभागाला वेगळे करणे व्यावहारिकदृष्ट्या अवास्तव आहे, कारण डी.सी. नेहमी बंद.परंतु तुम्ही वायरने तयार केलेले एकूण चुंबकीय प्रेरण मोजू शकता, म्हणजेच दिलेल्या वायरच्या सर्व प्राथमिक भागांद्वारे तयार केलेले.

अशाप्रकारे, बायोट-सोवरचा नियम तुम्हाला कंडक्टरच्या या विभागापासून एका विशिष्ट अंतरावर r आणि अ. निवडलेल्या विभागातून निरीक्षणाची विशिष्ट दिशा (विद्युत प्रवाहाची दिशा आणि कंडक्टरच्या विभागापासून कंडक्टरच्या जवळच्या जागेत तपासलेल्या बिंदूपर्यंतच्या कोनाच्या साइनद्वारे सेट केलेली):

हे प्रायोगिकरित्या स्थापित केले गेले आहे की चुंबकीय इंडक्शन वेक्टरची दिशा उजव्या हाताच्या स्क्रू किंवा गिंबल नियमाद्वारे सहजपणे निर्धारित केली जाते: जर त्याच्या रोटेशन दरम्यान जिम्बलच्या अनुवादात्मक हालचालीची दिशा वायरमधील थेट प्रवाह I च्या दिशेशी जुळत असेल तर जिम्बल हँडलच्या फिरण्याची दिशा दिलेल्या विद्युत् प्रवाहाद्वारे निर्मित चुंबकीय प्रेरण वेक्टर बी ची दिशा निर्धारित करते.

सरळ विद्युत प्रवाह वाहून नेणाऱ्या वायरचे चुंबकीय क्षेत्र तसेच त्यावर बायो-सावर्टच्या कायद्याच्या वापराचे उदाहरण आकृतीमध्ये दाखवले आहे:

म्हणून, जर आपण एकात्मिक केले, म्हणजे, एकूण चुंबकीय क्षेत्रामध्ये स्थिर करंट कंडक्टरच्या प्रत्येक लहान विभागाचे योगदान जोडले, तर आपल्याला त्यामधून विशिष्ट त्रिज्या R मध्ये वर्तमान कंडक्टरचे चुंबकीय प्रेरण शोधण्याचे सूत्र मिळेल. .

त्याचप्रकारे, बायो-सॅवर्डचा नियम वापरून, तुम्ही वेगवेगळ्या कॉन्फिगरेशनच्या डायरेक्ट करंट्समधून आणि स्पेसमधील काही बिंदूंवर चुंबकीय प्रेरण मोजू शकता, उदाहरणार्थ, विद्युतप्रवाह असलेल्या वर्तुळाकार सर्किटच्या मध्यभागी चुंबकीय प्रेरण शोधले जाते. खालील सूत्र:

चुंबकीय इंडक्शन वेक्टरची दिशा जिम्बल नियमानुसार सहज सापडते, फक्त आता गिम्बल बंद करंटच्या दिशेने फिरवले जाणे आवश्यक आहे आणि गिम्बलची पुढे जाणारी हालचाल चुंबकीय इंडक्शन वेक्टरची दिशा दर्शवेल.

जनरेटिंग फील्डद्वारे दिलेल्या प्रवाहांच्या कॉन्फिगरेशनची सममिती विचारात घेतल्यास चुंबकीय क्षेत्राच्या संदर्भात गणना सरलीकृत केली जाऊ शकते. येथे तुम्ही चुंबकीय प्रेरण वेक्टरच्या अभिसरणाचे प्रमेय (इलेक्ट्रोस्टॅटिक्समधील गॉस प्रमेयाप्रमाणे) वापरू शकता. "चुंबकीय प्रेरण वेक्टरचे परिसंचरण" म्हणजे काय?

आपण अवकाशात अनियंत्रित आकाराचा एक विशिष्ट बंद लूप निवडू या आणि सशर्त त्याच्या प्रवासाची सकारात्मक दिशा दर्शवू या. या लूपच्या प्रत्येक बिंदूसाठी, आपण त्या बिंदूवरील लूपच्या स्पर्शिकेवर चुंबकीय प्रेरण वेक्टर B चे प्रक्षेपण शोधू शकता. मग समोच्चच्या सर्व विभागांच्या प्राथमिक लांबींद्वारे या परिमाणांच्या उत्पादनांची बेरीज ही या समोच्च बाजूने चुंबकीय प्रेरण वेक्टर B चे अभिसरण आहे:

येथे सामान्य चुंबकीय क्षेत्र निर्माण करणारे व्यावहारिक सर्व प्रवाह एकतर विचाराधीन सर्किटमध्ये प्रवेश करू शकतात किंवा त्यापैकी काही त्याच्या बाहेर असू शकतात. अभिसरण प्रमेयानुसार: बंद लूपमधील डायरेक्ट करंट्सच्या चुंबकीय प्रेरण वेक्टर B चे परिसंचरण लूपमध्ये प्रवेश करणार्‍या सर्व थेट प्रवाहांच्या बेरजेने चुंबकीय स्थिर mu0 च्या गुणानुक्रमाने संख्यात्मकदृष्ट्या समान असते. हे प्रमेय 1826 मध्ये आंद्रे मेरी अँपेरे यांनी तयार केले होते:

वरील आकृतीचा विचार करा. येथे, I1 आणि I2 प्रवाह सर्किटमध्ये प्रवेश करतात, परंतु ते वेगवेगळ्या दिशेने निर्देशित केले जातात, याचा अर्थ असा की त्यांच्याकडे सशर्त भिन्न चिन्हे आहेत.सकारात्मक चिन्हामध्ये एक विद्युत प्रवाह असेल ज्याची चुंबकीय प्रेरणची दिशा (मूलभूत नियमानुसार) निवडलेल्या सर्किटच्या बायपासच्या दिशेशी जुळते. या परिस्थितीसाठी, परिसंचरण प्रमेय फॉर्म घेते:

सर्वसाधारणपणे, चुंबकीय प्रेरण वेक्टर B च्या अभिसरणासाठी प्रमेय चुंबकीय क्षेत्र सुपरपोझिशन तत्त्व आणि बायोट-सॅवर्ड कायद्याचे अनुसरण करते.

उदाहरणार्थ, आम्ही डायरेक्ट करंट कंडक्टरच्या चुंबकीय प्रेरणासाठी सूत्र काढतो. आपण वर्तुळाच्या स्वरूपात एक समोच्च निवडू या, ज्याच्या मध्यभागी ही वायर जाते आणि ती तार समोच्चाच्या समतलाला लंब असते.

अशा प्रकारे वर्तुळाचे केंद्र थेट कंडक्टरच्या मध्यभागी म्हणजेच कंडक्टरमध्ये असते. चित्र सममितीय असल्याने, व्हेक्टर B हा स्पर्शिकेने वर्तुळाकडे निर्देशित केला जातो आणि त्यामुळे स्पर्शिकेवरील त्याचा प्रक्षेपण सर्वत्र सारखाच असतो आणि व्हेक्टर B च्या लांबीइतका असतो. अभिसरण प्रमेय खालीलप्रमाणे लिहिलेला आहे:

म्हणून, थेट प्रवाह असलेल्या सरळ कंडक्टरच्या चुंबकीय प्रेरणाचे सूत्र खालीलप्रमाणे आहे (हे सूत्र आधीच वर दिलेले आहे). त्याचप्रमाणे, परिसंचरण प्रमेय वापरून, सममितीय डीसी कॉन्फिगरेशनचे चुंबकीय प्रेरण सहज शोधता येते जेथे फील्ड रेषांचे चित्र दृश्यमान करणे सोपे असते.

परिसंचरण प्रमेय लागू करण्याच्या व्यावहारिकदृष्ट्या महत्त्वपूर्ण उदाहरणांपैकी एक म्हणजे टॉरॉइडल इंडक्टरमध्ये चुंबकीय क्षेत्र शोधणे.

समजा डोनट-आकाराच्या कार्डबोर्ड फ्रेमवर एक टोरॉइडल कॉइल जखमेच्या गोल-टू-गोल वळणांची संख्या आहे. या कॉन्फिगरेशनमध्ये, चुंबकीय प्रेरण रेषा डोनटच्या आत बंदिस्त आहेत आणि आकारात एकाग्र (एकमेकांच्या आत) वर्तुळे आहेत. .

जर तुम्ही डोनटच्या आतील अक्षाच्या बाजूने चुंबकीय प्रेरण वेक्टरच्या दिशेने पाहिले तर असे दिसून येते की प्रवाह सर्वत्र घड्याळाच्या दिशेने निर्देशित केला जातो (जिंबल नियमानुसार). कॉइलमधील चुंबकीय इंडक्शनच्या एका रेषेचा (लाल रंगात दाखवलेला) विचार करा आणि ती त्रिज्या r च्या वर्तुळाकार लूप म्हणून निवडा. मग दिलेल्या सर्किटसाठी परिसंचरण प्रमेय खालीलप्रमाणे लिहिले आहे:

आणि कॉइलच्या आत फील्डचे चुंबकीय प्रेरण समान असेल:

पातळ टॉरॉइडल कॉइलसाठी, जिथे चुंबकीय क्षेत्र त्याच्या संपूर्ण क्रॉस-सेक्शनवर जवळजवळ एकसमान असते, चुंबकीय प्रेरणासाठी अभिव्यक्ती लिहिणे शक्य आहे जसे की अमर्याद लांब सोलेनोइडसाठी, प्रति युनिट लांबीच्या वळणांची संख्या लक्षात घेऊन — n :

आता एका अमर्याद लांब सोलेनोइडचा विचार करा जिथे चुंबकीय क्षेत्र पूर्णपणे आत आहे. आम्ही निवडलेल्या आयताकृती समोच्चवर परिसंचरण प्रमेय लागू करतो.

येथे चुंबकीय प्रेरण सदिश केवळ 2 बाजूला शून्य नसलेले प्रोजेक्शन देईल (त्याची लांबी एल च्या समान आहे). n — «प्रति युनिट लांबीच्या वळणांची संख्या» या पॅरामीटरचा वापर करून, आपल्याला अभिसरण प्रमेयाचे असे स्वरूप मिळते, जे शेवटी मल्टीटोनकॉय टॉरॉइडल कॉइलच्या रूपात कमी होते: