AC सर्किट्समध्ये गणनेसाठी जटिल संख्या का वापरल्या जातात

तुम्हाला माहिती आहेच, इलेक्ट्रिकल इंजिनिअरिंगमधील काही ठराविक समस्या सोडवण्यासाठी कॉम्प्लेक्स नंबरचा वापर केला जातो. पण ते कशासाठी वापरले जातात आणि ते अशा प्रकारे का केले जाते? या लेखात आपण हे समजून घेण्याचा प्रयत्न करू. वस्तुस्थिती अशी आहे की जटिल एसी सर्किट्सची गणना करण्यासाठी जटिल पद्धत किंवा जटिल ऍम्प्लिट्यूड्सची पद्धत सोयीस्कर आहे. आणि सुरुवात करण्यासाठी, गणिताच्या काही मूलभूत गोष्टी आठवूया:

तुम्ही बघू शकता, जटिल संख्या z मध्ये काल्पनिक भाग आणि वास्तविक भाग समाविष्ट आहेत, जे एकमेकांपासून भिन्न आहेत आणि मजकूरात वेगळ्या प्रकारे दर्शविल्या जातात. z ही जटिल संख्या बीजगणितीय, त्रिकोणमितीय किंवा घातांकीय स्वरूपात लिहिली जाऊ शकते:

ऐतिहासिक पार्श्वभूमी

असे मानले जाते की काल्पनिक संख्यांची कल्पना 1545 मध्ये सुरू झाली, जेव्हा इटालियन गणितज्ञ, अभियंता, तत्त्वज्ञ, चिकित्सक आणि ज्योतिषी गिरोलामो कार्डानो यांनी त्यांच्या "द ग्रेट आर्ट" या ग्रंथात समीकरणे सोडवण्याची ही पद्धत प्रकाशित केली. , त्याने कबूल केले की निकोलोने त्याला हे काम प्रकाशित करण्याच्या 6 वर्षांपूर्वी टार्टाग्लिया (इटालियन गणितज्ञ) यांना कल्पना दिली होती. त्याच्या कामात, क्राडानो फॉर्मची समीकरणे सोडवतो:

ही समीकरणे सोडवण्याच्या प्रक्रियेत, शास्त्रज्ञाला काही «अवास्तव» संख्येचे अस्तित्व मान्य करण्यास भाग पाडले गेले, ज्याचा वर्ग वजा एक «-१» असेल, म्हणजे जणू काही एखाद्याचे वर्गमूळ आहे. ऋण संख्या, आणि जर ती आता स्क्वेअर केली असेल, तर रूट अंतर्गत संबंधित ऋण संख्या असेल. कार्डानोने गुणाकाराचा नियम सांगितला, त्यानुसार:

तीन शतके, गणितीय समुदाय कार्डानोने प्रस्तावित केलेल्या नवीन दृष्टिकोनाची सवय होण्याच्या प्रक्रियेत होता. काल्पनिक संख्या हळूहळू रुजत आहेत, परंतु गणितज्ञ स्वीकारण्यास नाखूष आहेत. गॉसच्या बीजगणितावरील कार्यांचे प्रकाशन होईपर्यंत, जिथे त्याने बीजगणिताचे मूलभूत प्रमेय सिद्ध केले, जटिल संख्या शेवटी पूर्णपणे स्वीकारल्या गेल्या, 19 वे शतक जवळ आले.

काल्पनिक संख्या गणितज्ञांसाठी एक वास्तविक जीवनरक्षक बनली कारण काल्पनिक संख्यांचे अस्तित्व स्वीकारून सर्वात जटिल समस्या सोडवणे खूप सोपे झाले.

त्यामुळे लवकरच ते इलेक्ट्रिकल इंजिनिअरिंगमध्ये आले. AC सर्किट कधी कधी खूप गुंतागुंतीचे होते आणि त्यांची गणना करण्यासाठी अनेक अविभाज्य घटकांची गणना करावी लागत असे, जे सहसा खूप गैरसोयीचे होते.

अखेरीस, 1893 मध्ये, हुशार विद्युत अभियंता कार्ल ऑगस्ट स्टेनमेट्झ यांनी शिकागो येथे आंतरराष्ट्रीय इलेक्ट्रोटेक्निकल काँग्रेसमध्ये "विद्युत अभियांत्रिकीमधील जटिल संख्या आणि त्यांचे अनुप्रयोग" या अहवालासह भाषण केले, ज्याने प्रत्यक्षात जटिल पद्धतीच्या अभियंत्यांनी व्यावहारिक अनुप्रयोगाची सुरुवात केली. एसी करंटसाठी इलेक्ट्रिक सर्किट्सची गणना करणे.

हे आपल्याला भौतिकशास्त्राच्या अभ्यासक्रमातून कळते पर्यायी प्रवाह — हा एक विद्युतप्रवाह आहे जो कालांतराने परिमाण आणि दिशा दोन्हीमध्ये बदलतो.

तंत्रज्ञानामध्ये, अल्टरनेटिंग करंटचे वेगवेगळे प्रकार आहेत, परंतु आज सर्वात सामान्य म्हणजे अल्टरनेटिंग सायनसॉइडल करंट आहे, हे सर्वत्र वापरले जाते, ज्याच्या मदतीने वीज प्रसारित केली जाते, पर्यायी प्रवाहाच्या स्वरूपात, जी तयार केली जाते, रूपांतरित होते. ट्रान्सफॉर्मर आणि भाराने वापरला जातो. साइनसॉइडल (हार्मोनिक) कायद्यानुसार सायनसॉइडल करंट वेळोवेळी बदलतो.

वर्तमान आणि व्होल्टेजची प्रभावी मूल्ये दोन गुणांच्या मुळाच्या मोठेपणाच्या मूल्यांपेक्षा कमी आहेत:

जटिल पद्धतीमध्ये, प्रवाह आणि व्होल्टेजची प्रभावी मूल्ये खालीलप्रमाणे लिहिली आहेत:

लक्षात घ्या की विद्युत अभियांत्रिकीमध्ये, काल्पनिक एकक हे "j" अक्षराने दर्शविले जाते, कारण येथे "i" अक्षर आधीच प्रवाह दर्शविण्यासाठी वापरले गेले आहे.

पासून ओमचा कायदा प्रतिकाराचे जटिल मूल्य निर्धारित करते:

जटिल मूल्यांची बेरीज आणि वजाबाकी बीजगणितीय स्वरूपात केली जाते आणि गुणाकार आणि भागाकार घातांकीय स्वरूपात केला जातो.

मुख्य पॅरामीटर्सच्या विशिष्ट मूल्यांसह विशिष्ट सर्किटचे उदाहरण वापरून जटिल ऍम्प्लिट्यूड्सच्या पद्धतीचा विचार करूया.

जटिल संख्या वापरून समस्या सोडवण्याचे उदाहरण

दिले:

• कॉइल व्होल्टेज 50 V,

• रेझिस्टर रेझिस्टन्स 25 ओहम,

• कॉइल इंडक्टन्स 500 mH,

• कॅपेसिटरची विद्युत क्षमता 30 मायक्रोफारॅड्स आहे,

• कॉइल प्रतिरोध 10 ओम,

• मुख्य वारंवारता 50 Hz.

शोधा: ammeter आणि voltmeter रीडिंग तसेच wattmeter.

उत्तर:

सुरुवातीला, आम्ही मालिका-कनेक्ट केलेल्या घटकांचा जटिल प्रतिकार लिहितो, ज्यामध्ये वास्तविक आणि काल्पनिक भाग असतात, त्यानंतर आम्हाला सक्रिय-प्रवेशक घटकाचा जटिल प्रतिकार आढळतो.

आठवणीत! घातांक फॉर्म मिळविण्यासाठी, वास्तविक आणि काल्पनिक भागांच्या वर्गांच्या बेरजेच्या वर्गमूळाच्या बरोबरीचे मॉड्युलस z आणि वास्तविक भागाने भागलेल्या काल्पनिक भागाच्या भागाच्या आर्कटंजेंटच्या समान phi शोधा.

मग आम्हाला वर्तमान सापडते आणि त्यानुसार, अॅमीटरचे वाचन:

म्हणून ammeter 0.317 A चा विद्युत् प्रवाह दर्शवितो—म्हणजे संपूर्ण मालिका सर्किटमधून प्रवाह आहे.

आता आपल्याला कॅपेसिटरचा कॅपेसिटिव्ह रेझिस्टन्स सापडेल, त्यानंतर आपण त्याचा कॉम्प्लेक्स रेझिस्टन्स ठरवू:

त्यानंतर आम्ही या सर्किटच्या एकूण जटिल प्रतिबाधाची गणना करतो:

आता आम्हाला सर्किटवर लागू केलेला प्रभावी व्होल्टेज सापडतो:

व्होल्टमीटर 19.5 व्होल्टचा प्रभावी व्होल्टेज दर्शवेल.

शेवटी, वर्तमान आणि व्होल्टेजमधील फेज फरक लक्षात घेऊन वॉटमीटर दाखवेल अशी शक्ती आम्हाला आढळते.

वॅटमीटर 3.51 वॅट्स दर्शवेल.

आता तुम्हाला समजले आहे की इलेक्ट्रिकल अभियांत्रिकीमध्ये जटिल संख्या किती महत्वाच्या आहेत. ते इलेक्ट्रिकल सर्किट्सच्या सोयीस्कर गणनासाठी वापरले जातात. अनेक इलेक्ट्रॉनिक मापन उपकरणे त्याच आधारावर कार्य करतात.