संख्या प्रणाली

संख्या प्रणाली ही भिन्न संख्यात्मक चिन्हे वापरून संख्या दर्शवण्यासाठी नियमांचा एक संच आहे. संख्या प्रणालीचे दोन प्रकारांमध्ये वर्गीकरण केले जाते: नॉन-पोझिशनल आणि पोझिशनल.

पोझिशनल नंबर सिस्टीममध्ये, प्रत्येक अंकाचे मूल्य ते व्यापलेल्या स्थितीवर अवलंबून नसते, म्हणजेच अंकांच्या संचामध्ये ते व्यापलेल्या जागेवर. रोमन अंक प्रणालीमध्ये, फक्त सात अंक आहेत: एक (I), पाच (V), दहा (X), पन्नास (L), शंभर (C), पाचशे (D), एक हजार (M). या संख्यांचा (चिन्हांचा) वापर करून, उर्वरित संख्या बेरीज आणि वजाबाकीने लिहिल्या जातात. उदाहरणार्थ, IV ही संख्या 4 (V — I), VI ही संख्या 6 (V + I) चे संकेतन आहे आणि असेच. 666 क्रमांक रोमन प्रणालीमध्ये खालीलप्रमाणे लिहिलेला आहे: DCLXVI.

आम्ही सध्या वापरत असलेल्या नोटेशनपेक्षा हे नोटेशन कमी सोयीचे आहे. येथे सहा हे एका चिन्हाने (VI), सहा दहा (LX), सहाशे आणि तिसरे (DC) लिहिले आहे. रोमन अंक प्रणालीमध्ये लिहिलेल्या अंकांसह अंकगणित क्रिया करणे खूप कठीण आहे. तसेच, नॉन-पोझिशनल सिस्टीमचा एक सामान्य तोटा म्हणजे त्यांच्यामध्ये पुरेशा मोठ्या संख्येचे प्रतिनिधित्व करण्याची जटिलता ज्यामुळे अत्यंत अवजड नोटेशन होऊ शकते.

आता पोझिशनल नंबर सिस्टीममध्ये समान संख्या 666 विचारात घ्या. त्यामध्ये, एक चिन्ह 6 म्हणजे शेवटच्या ठिकाणी असल्यास त्यांची संख्या, उपांत्य ठिकाणी असल्यास दहापटांची संख्या आणि शेवटपासून तिसऱ्या स्थानावर असल्यास शेकडो संख्या. संख्या लिहिण्याच्या या तत्त्वाला स्थानात्मक (स्थानिक) म्हणतात. अशा रेकॉर्डिंगमध्ये, प्रत्येक अंकाला केवळ त्याच्या शैलीवर अवलंबून नाही तर संख्या लिहिल्यावर तो कुठे उभा आहे यावर देखील अवलंबून संख्यात्मक मूल्य प्राप्त करतो.

स्थितीत्मक संख्या प्रणालीमध्ये, A = +a1a2a3 … ann-1an म्हणून प्रस्तुत केलेली कोणतीही संख्या बेरीज म्हणून दर्शविली जाऊ शकते

जेथे n — संख्येच्या प्रतिमेतील अंकांची मर्यादित संख्या, ii क्रमांक i-go अंक, d — संख्या प्रणालीचा आधार, i — श्रेणीची क्रमिक संख्या, dm-i — i-ro श्रेणीचे "वजन" . अंक ai ने असमानता 0 <= a <= (d — 1) पूर्ण करणे आवश्यक आहे.

दशांश चिन्हासाठी, d = 10 आणि ai = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

एक आणि शून्य असलेली संख्या एकत्रितपणे वापरल्यास दशांश किंवा बायनरी संख्या म्हणून समजली जाऊ शकते, संख्या प्रणालीचा आधार सहसा दर्शविला जातो, उदाहरणार्थ (1100)2-बायनरी, (1100)10-दशांश.

डिजिटल संगणकांमध्ये, दशांश व्यतिरिक्त इतर प्रणाली मोठ्या प्रमाणावर वापरल्या जातात: बायनरी, ऑक्टल आणि हेक्साडेसिमल.

बायनरी प्रणाली

या प्रणालीसाठी d = 2 आणि येथे फक्त दोन अंकांना परवानगी आहे, म्हणजे ai = 0 किंवा 1.

बायनरी प्रणालीमध्ये व्यक्त केलेली कोणतीही संख्या दिलेल्या बिटच्या बायनरी अंकाच्या दुप्पट बेसच्या पॉवरच्या गुणाकाराची बेरीज म्हणून दर्शविली जाते. उदाहरणार्थ, 101.01 ही संख्या याप्रमाणे लिहिली जाऊ शकते: 101.01 = 1×22 + 0x21 + 1×20 + 0x2-1 + 1×2-2, जी दशांश प्रणालीमधील संख्येशी संबंधित आहे: 4 + 1 + 0.25 = ५.२५

बर्‍याच आधुनिक डिजिटल संगणकांमध्ये, बायनरी नंबर सिस्टमचा वापर मशीनमधील संख्या दर्शवण्यासाठी आणि त्यावर अंकगणित ऑपरेशन्स करण्यासाठी केला जातो.

बायनरी संख्या प्रणाली, दशांशाच्या तुलनेत, अंकगणित यंत्र आणि मेमरी डिव्हाइसचे सर्किट आणि सर्किट्स सुलभ करणे आणि संगणकाची विश्वासार्हता वाढवणे शक्य करते. बायनरी संख्येच्या प्रत्येक बिटचा अंक ट्रान्झिस्टर, डायोड सारख्या घटकांच्या «चालू/बंद» अवस्थांद्वारे दर्शविला जातो, जे «चालू/बंद» स्थितींमध्ये विश्वासार्हपणे कार्य करतात. बायनरी सिस्टमच्या तोट्यांमध्ये एका विशेष प्रोग्रामनुसार मूळ डिजिटल डेटा बायनरी नंबर सिस्टममध्ये अनुवादित करण्याची आवश्यकता आणि निर्णयाचे परिणाम दशांश मध्ये समाविष्ट आहेत.

ऑक्टल संख्या प्रणाली

या प्रणालीचा आधार d == 8 आहे. संख्या दर्शवण्यासाठी संख्यांचा वापर केला जातो: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

ऑक्टल नंबर सिस्टीम संगणकामध्ये समस्या सोडवण्यासाठी (प्रोग्रामिंग प्रक्रियेत), मशीनचे ऑपरेशन तपासण्यासाठी आणि प्रोग्राम डीबग करण्यासाठी मदत म्हणून वापरली जाते. ही प्रणाली बायनरी प्रणालीपेक्षा संख्येचे लहान प्रतिनिधित्व देते. ऑक्टल नंबर सिस्टम तुम्हाला फक्त बायनरी सिस्टीमवर जाण्याची परवानगी देते.

हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली

या प्रणालीमध्ये बेस d = 16 आहे. संख्या दर्शवण्यासाठी 16 वर्ण वापरले जातात: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, आणि अक्षर A … F दशांश संख्या 10, 11, 12, 13, 14 आणि 15 दर्शवितात. हेक्साडेसिमल संख्या (1D4F) 18 दशांश 7503 शी संबंधित असेल कारण (1D4F)18 = 1 x163 + 13 x 162 + 14 + 14 15 x 16O = (7503)10

हेक्साडेसिमल नोटेशन बायनरी संख्या ऑक्टल पेक्षा अधिक संक्षिप्तपणे लिहिण्याची परवानगी देते. हे इनपुट आणि आउटपुट उपकरणांमध्ये आणि काही संगणकांच्या नंबर ऑर्डर डिस्प्ले उपकरणांमध्ये अनुप्रयोग शोधते.

बायनरी-दशांश संख्या प्रणाली

बायनरी-दशांश प्रणालीमध्ये संख्यांचे प्रतिनिधित्व खालीलप्रमाणे आहे. संख्येची दशांश चिन्हे आधार म्हणून घेतली जातात आणि नंतर त्यातील प्रत्येक अंक (0 ते 9 पर्यंत) चार-अंकी बायनरी संख्येच्या स्वरूपात लिहिला जातो ज्याला टेट्राड म्हणतात, म्हणजेच प्रतिनिधित्व करण्यासाठी एक चिन्ह वापरले जात नाही. दशांश प्रणालीचा प्रत्येक अंक, परंतु चार.

उदाहरणार्थ, दशांश 647.59 बीसीडी 0110 0100 0111, 0101 1001 शी संबंधित असेल.

बायनरी-दशांश संख्या प्रणाली मध्यवर्ती संख्या प्रणाली म्हणून आणि इनपुट आणि आउटपुट क्रमांक एन्कोडिंगसाठी वापरली जाते.

एक नंबर सिस्टम दुसर्‍या क्रमांकावर हस्तांतरित करण्याचे नियम

संगणक उपकरणांमधील माहितीची देवाणघेवाण प्रामुख्याने बायनरी संख्या प्रणालीमध्ये दर्शविलेल्या संख्येद्वारे केली जाते. तथापि, दशांश प्रणालीमध्ये माहिती वापरकर्त्यास संख्यांमध्ये सादर केली जाते, आणि कमांड अॅड्रेसिंग ऑक्टल सिस्टममध्ये सादर केली जाते. त्यामुळे संगणकासोबत काम करण्याच्या प्रक्रियेत एका सिस्टीममधून दुसऱ्या सिस्टीममध्ये क्रमांक हस्तांतरित करण्याची गरज आहे. हे करण्यासाठी, खालील सामान्य नियम वापरा.

पूर्ण संख्येचे कोणत्याही संख्या प्रणालीतून दुसर्‍यामध्ये रूपांतर करण्यासाठी, या संख्येला नवीन प्रणालीच्या पायाने अनुक्रमे भागाकार करणे आवश्यक आहे जोपर्यंत भागभाजकापेक्षा कमी होत नाही. नवीन प्रणालीमधील संख्या शेवटच्या भागापासून सुरू होणारी, म्हणजे उजवीकडून डावीकडे, भागाच्या उर्वरित स्वरूपात लिहिली जाणे आवश्यक आहे.

उदाहरणार्थ, दशांश 1987 बायनरीमध्ये रूपांतरित करू:

बायनरी स्वरूपातील दशांश संख्या 1987 11111000011 आहे, म्हणजे. (1987)10 = (11111000011)2

कोणत्याही सिस्टीममधून दशांशामध्ये बदलताना, संख्या संबंधित गुणांकांसह बेसच्या शक्तींची बेरीज म्हणून दर्शविली जाते आणि नंतर बेरीजचे मूल्य मोजले जाते.

उदाहरणार्थ, 123 ऑक्टल संख्या दशांश मध्ये रूपांतरित करू: (123)8 = 1 x 82 + 2 x 81 + 3 x 80 = 64 + 16 + 3 = 83, i.e. (१२३)८ = (८३)१०

संख्येचा अंशात्मक भाग कोणत्याही सिस्टीममधून दुसर्‍या सिस्टीममध्ये हस्तांतरित करण्यासाठी, नवीन संख्या प्रणालीवर आधारित या अपूर्णांकाचा आणि परिणामी उत्पादनाच्या अपूर्णांकाचा सलग गुणाकार करणे आवश्यक आहे. नवीन सिस्टीममधील संख्येचा अंशात्मक भाग पहिल्यापासून सुरू होऊन, परिणामी उत्पादनांच्या संपूर्ण भागांच्या स्वरूपात तयार होतो. दिलेल्या अचूकतेसह संख्येची गणना होईपर्यंत गुणाकार प्रक्रिया चालू राहते.

उदाहरणार्थ, दशांश अपूर्णांक 0.65625 बायनरी संख्या प्रणालीमध्ये रूपांतरित करू:

पाचव्या उत्पादनाच्या अपूर्णांकात फक्त शून्यांचा समावेश असल्याने, पुढील गुणाकार अनावश्यक आहे. याचा अर्थ असा की दिलेला दशांश त्रुटीशिवाय बायनरीमध्ये रूपांतरित केला जातो, म्हणजे. (0.65625)10 = (0.10101)2.

ऑक्टल आणि हेक्साडेसिमल मधून बायनरी आणि त्याउलट रूपांतर करणे कठीण नाही. याचे कारण असे की त्यांचे तळ (d — 8 आणि d — 16) दोन पूर्णांकांशी जुळतात (23 = 8 आणि 24 = 16).

ऑक्टल किंवा हेक्साडेसिमल संख्या बायनरीमध्ये रूपांतरित करण्यासाठी, त्यांची प्रत्येक संख्या अनुक्रमे तीन- किंवा चार-अंकी बायनरी संख्येसह पुनर्स्थित करणे पुरेसे आहे.

उदाहरणार्थ, ऑक्टल संख्या (571)8 आणि हेक्साडेसिमल संख्या (179)16 बायनरी संख्या प्रणालीमध्ये भाषांतरित करू.

दोन्ही प्रकरणांमध्ये आम्हाला समान परिणाम मिळतात, म्हणजे. (571)8 = (179)16 = (101111001)2

बायनरी-दशांश वरून दशांश मध्ये रूपांतरित करण्यासाठी, तुम्हाला बायनरी-दशांश मध्ये दर्शविलेल्या संख्येच्या प्रत्येक टेट्राडला दशांश मध्ये दर्शविलेल्या अंकासह पुनर्स्थित करणे आवश्यक आहे.

उदाहरणार्थ, संख्या (0010 0001 1000, 0110 0001 0110) 2-10 दशांश चिन्हात लिहू, उदा. (0010 0001 1000, 0110 0001 0110)2-10 = (218,625)